Le principe
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Le prix et le poids des pommes au marché, la quantité de farine et le nombre de parts d’un gâteau, la distance sur une carte et la distance réelle. Dans ces cas, connaître une paire de valeurs suffit pour trouver toutes les autres.
La règle de trois tient en une ligne : si A correspond à B, alors C correspond à C × B ÷ A. On l’appelle aussi produit en croix, parce qu’en écrivant les quatre valeurs dans un tableau, on multiplie les deux nombres en diagonale avant de diviser par le troisième.
Des exemples qu’on croise tous les jours
En cuisine. Une recette prévoit 250 g de farine pour 4 personnes. Pour 6 personnes : 6 × 250 ÷ 4 = 375 g. La même opération vaut pour chaque ingrédient.
À la pompe. Le dernier plein de 52 litres a coûté 89,44 €. Combien coûteront 40 litres au même prix ? 40 × 89,44 ÷ 52 = 68,80 €.
Sur une carte. À l’échelle 1 cm pour 250 m, un tracé de 7,4 cm représente 7,4 × 250 ÷ 1 = 1 850 mètres.
Passer par l’unité, la méthode de l’école
Si la formule vous semble abstraite, la méthode « par l’unité » donne le même résultat en deux étapes. On calcule d’abord ce que vaut une unité, puis on multiplie. Pour les pommes : 3 kg coûtent 7,50 €, donc 1 kg coûte 7,50 ÷ 3 = 2,50 €, et 5 kg coûtent 5 × 2,50 = 12,50 €. C’est exactement le calcul C × B ÷ A, fait dans un autre ordre.
Cette étape intermédiaire a un autre intérêt : elle donne un prix à l’unité qu’on peut comparer. Au supermarché, le prix au kilo ou au litre affiché sous l’étiquette, c’est une règle de trois toute faite. Un paquet de 750 g à 3,15 € revient à 3,15 × 1 000 ÷ 750 = 4,20 € le kilo, plus cher qu’un paquet d’un kilo à 3,99 €, même s’il paraît moins cher en rayon.
Quand la proportionnalité est inverse
Parfois, quand une grandeur augmente, l’autre diminue dans la même proportion. Plus on roule vite, moins le trajet dure. Plus on est nombreux sur un chantier, plus il avance vite. La formule change : on multiplie les deux valeurs connues de la première situation, puis on divise par la nouvelle.
Trois robinets remplissent une cuve en 12 minutes. Avec quatre robinets identiques : 3 × 12 ÷ 4 = 9 minutes. Un trajet de 2 heures à 90 km/h ne prend plus que 90 × 2 ÷ 120 = 1 h 30 à 120 km/h.
Et les pourcentages ?
Un pourcentage est une règle de trois avec 100 comme référence. « 15 % de 80 », c’est « si 100 donne 15, combien donne 80 ? », soit 80 × 15 ÷ 100 = 12. Les conversions de devises, d’unités (miles en kilomètres, pouces en centimètres) ou de doses fonctionnent de la même façon, dès lors que le rapport reste constant.
Attention aux fausses proportions
La règle de trois ne marche que si la situation est vraiment proportionnelle. Beaucoup ne le sont pas. Un abonnement avec une part fixe, un tarif dégressif au volume, des frais de livraison offerts au-delà d’un montant : doubler la quantité ne double pas le prix. Le temps de cuisson d’un rôti ne double pas non plus avec son poids. Avant de calculer, posez-vous la question simple : si je double l’un, est-ce que l’autre double aussi ?
Et pour les calculs de remises ou de hausses, qui sont un cas particulier de proportionnalité, le calculateur de pourcentage évite les erreurs de base les plus courantes.